mの置き換え理由は？

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KSさん(2013/06/25)
降水過程での雨滴の落下速度の質問です。
Hxx年度第1回、問5です。
mg＝ρV²πr²Cd/2　の式の変形で
V²＝mg/（ρπr²Cd/2）　として
落下速度Vの2乗は、雨滴の半径rの2乗に反比例する。
と考えるのはなぜ間違いなのですか。

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一見良さそうですが、比例（反比例）というためには、 Vとr以外の文字はすべて、計算の途中で数値が変わらない「定数」でなければなりません。
しかし、水滴の質量m は定数ではなく、 半径r によって数値が変化する変数です。
水滴の半径が大きくなれば、水滴の質量も大きくなってしまいますからね。
だから、m を消して、 r との関係を式の中で表現しなければならないのです。

実際の問題はこうでした。

直径1mm程度の雨滴の落下速度（終端速度）について述べた次の文章の空欄（）を埋める数値として正しいものを、下記の<1>〜]<5>の中から選べ。 空気中を落下する雨滴の落下速度は、   雨滴に働く重力(mg)と  逆向きに働く抵抗力(ρV2πr2Cd/2) との釣り合いを表す次式から求められる。 　　　　mg＝ρV2πr2Cd/2 ここで、mは雨滴の質量、　rは雨滴の半径、　Vは落下速度、　Cdは空気の抵抗係数　gは重力加速度、　ρは空気の密度である。 この式を使って大きさの異なる雨滴の落下速度を比較すると、雨滴の半径が2倍になったときの雨滴の落下速度は約(　)倍になる。ただし、空気の密度、重力加速度、空気の抵抗係数は一定とする。 <1>0.5　<2>0.7　<3>1.4　<4>2　<5>4

与えたれた式を変形して、KSさんと同じ形にします。
そこで、V²＝mg/（ρπr²Cd/2）に　m＝ρ（4/3）πr³を代入すると
　V²＝（4/3）πr³ρg/（ρπr²Cd/2）
　　　＝(8/3)(2/Cd)gr　ここで、定数A=(8/3)(2/Cd)g　とおくと
　　V²＝Ar
Vとr以外はすべて定数になりますから、 Vの2乗はr に比例すると言えるようになります。
もっと分かりやすい表現なら、V はr のルートに比例するとなります。
したがって正解は、√2に相当する<3>1.4になります。
(2013/07/05)